จำนวนนับ ( Natural number ) เป็นจำนวนซึ่งมนุษย์คิดขึ้นเป็นครั้งแรก เป็นจำนวนที่ใช้นับสิ่งของ เริ่มตั้งแต่ 1,2,3,4,… คือ N = 1,2,3,4,…
จำนวนเต็ม ( Inteter ) คิดขึ้นเพื่อแก้ปัญหาจำนวนนับบางจำนวนไม่สามารถลบ และ หารได้ โดยคิดจำนวนลบขึ้น คือ I = …,-3,-2,-1,0,2,3,4,… จำนวนเต็มแบ่งเป็น
จำนวนเต็มบวก ( I+ ) ได้แก่ 1,2,3,4,…
จำนวนเต็มศูนย์ สมาชิกมีจำนวนเดียวคือ 0
จำนวนเต็มลบ ( I- ) ได้แก่ -1,-2,-3,-4,…
จำนวนตรรกยะ ( rational number ) คือ จำนวนที่เขียนเป็นเศษส่วนได้
คือ Q = x x = เมื่อ a, b  I และ b  0 
ได้แก่ 1. จำนวนเต็ม ได้แก่ 0,1,-1,2,-2,3,-3,…
2. เศษส่วน เช่น , เป็นต้น
3.ทศนิยมซ้ำ เช่น
1.5=
0.121212… =
= 4.5323232… = =
จำนวนอตรรกยะ ( irrational number ) คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำและสามารถกำหนดค่าโดยประมาณได้ เช่น มีค่าประมาณ 1.414
มีค่าประมาณ 1.732
มีค่าประมาณ 3.1416
0.1010010001… มีค่าประมาณ 1.101
จำนวนจริง ( Real number ) ได้แก่จำนวนที่กล่าวถึงทั้งหมดนี้ยูเนียนกัน
จำนวนจินตภาพ คือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง ไม่สามารถจัดลำดับมากน้อยได้ เช่นจำนวนที่ได้จากการแก้สมการ x2 = -1
จำนวนเชิงซ้อน คือเซตของจำนวนจริงยูเนียนกับเซตของจำนวนจินตภาพ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สรุปเนื้อหา

1. เรื่องของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ หัวใจหลักที่สำคัญอยู่ที่ วงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งมี สมการ ซึ่งสามารถเขียนกราฟได้ดังรูปทางซ้ายมือ ทำให้เราทราบ สิ่งต่อไปนี้
1.1มุมรอบจุด หรือ เรเดียน เทียบเท่า เรเดียน (จำไว้ใช้
เปลี่ยนระบบ)
1.2เมื่อให้ คือจำนวนจริงที่วัดจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยให้
ยาว หน่วย ซึ่งถึงจุด A ที่มี CO-ORDINATE (x, y) และได้กำหนดว่า
ถ้า (ค่าเป็นบวก) จะวัดทวนเข็มนาฬิกา เช่น
ถ้า (ค่าเป็นลบ) จะวัดตามเข็มนาฬิกา เช่น
เรียกจุด (x , y) ว่าจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว หน่วย และ OA เป็นเวคเตอร์ ถูกเรียกว่า “RADIUS VECTOR”
1.3 ค่ามุมหลัก (PRINCIPLE ANGLE) คือ ค่ามุมที่ถูกวัดออกไปโดยสิ้นสุดที่ RADIUS VECTOR ไม่ผ่านเลยไป จากรูปข้างต้น ค่ามุมหลัก ก็คือ และ ผลพลอยได้ที่เราต้องรู้จักก็คือ
ค่ามุมทั่วไป (GENERAL ANGLE) คือ เซตของค่ามุม ที่ RADIUS VECTOR หนึ่ง เช่น จากรูปข้างต้น ค่ามุมทั่วไปก็คือ หรือ โดย
1.4 ฟังก์ชันไซน์ และฟังก์ชันโคไซน์
จากการสังเกต แต่ละตัว ที่กำหนด จะให้ค่า x 1 ค่า และค่า y 1 ค่า ถ้าเรานำเอา กับ Y มาสร้างเป็นฟังก์ชันได้ เราเรียกฟังก์ชันนั้นว่า “ฟังก์ชันไซน์” (SINE FUNCTION) ฟังก์ชันดังกล่าวก็คือ ในทำนองเดียวกัน นำเอา กับ x มาสร้างเป็นฟังก์ชันได้ ซึ่งเรียกว่า “ฟังก์ชันโคไซน์” (COSINE FUNCTION) นั่นก็คือ นักคณิตศาสตร์กำหนดเป็นนิยามเอาไว้ดังนี้
นิยาม : เมื่อ (x , y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว หน่วย
ฟังก์ชันไซน์ (SINE FUNCTION) คือ เซตของคู่ลำดับ
ฟังก์ชันโคไซน์ (COSINE FUNCTION) คือ เซตของคู่ลำดับ
1.5 ความสัมพันธ์ของ sin กับ cos
1. จากสมการวงกลม ทำให้ได้ ซึ่งเป็นสูตรพื้นฐานและสำคัญของฟังก์ชันตรีโกณมิติและผลพลอยได้ที่ตามมาก็คือ ถ้า แล้วเราก็จะได้ ด้วย เช่น
2. ค่ามุม และ ตกอยู่ใน ทั้งคู่ หรืออยู่ใน ทั้งคู่ซึ่ง RADIUS VECTORS ทั้งคู่ซึ่ง สมมาตรกับเส้นตรง y = x ทำให้ แล้วสรุปได้ว่า และ เช่น
3. ค่าของมุม และ ตกอยู่ใน ทั้งคู่ หรืออยู่ใน ทั้งคู่ ซึ่ง RADIUS VECTOR ทั้งคู่ สมมาตรกับเส้นตรง y = -x ทำให้ แล้วสรุปได้ว่า และ
4. ถ้า มุมคู่ที่บวกหรือลบกันได้มุมของแนวดิ่ง
จะได้ว่า sin (ฝ่ายหนึ่ง) = + หรือ -cos (อีกฝ่ายหนึ่ง)
cos (ฝ่ายหนึ่ง) = + หรือ -sin (อีกฝ่ายหนึ่ง
5. ถ้ามุมคู่ที่บวก หรือลบกันได้มุมของแนวราบ
จะได้ว่า sin (ฝ่ายหนึ่ง) = + หรือ -sin (อีกฝ่ายหนึ่ง)
cos (ฝ่ายหนึ่ง) = + หรือ -cos (อีกฝ่ายหนึ่ง
2. จากฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ เราสามารถนำมาสร้างเป็นฟังก์ชันอื่น ๆ ได้ดังนิยามต่อไปนี้
tangent หรือมักเขียนแทนด้วย เมื่อ
secant หรือมักเขียนแทนด้วย เมื่อ
cosecant หรือมักเขียนแทนด้วย หรือ เมื่อ
cotangent หรือมักเขียนแทนด้วย หรือ เมื่อ
3. สรุปฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมของรูป มุมฉาก
sin A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
= ข้าม
ฉาก
cos A = ความยาวด้านประชิดมุม A
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

= ชิด
ฉาก
tan A = ความยาวด้านตรงข้ามมุม A
ความยาวด้านประชิดมุม A
ส่วนฟังก์ชัน cosec, sec และ cot นั้น ก็ใช้นิยามเข้าช่วย ซึ่งเป็นส่วนกลับของ sin, cos และ tan ตามลำดับ จึงต้องจำฟังก์ชัน sin, cos, tan ให้แม่นก็จะได้ในส่วนของ cosec, sec และ cot ขึ้นมาเองโดยอัตโนมัติ
4. ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคโซน์ที่ควรรู้ (มุมที่อยู่ในช่วง


FUNCTION

0 rad







sin
0



1
cos
1



0

หมายเหตุ : สำหรับค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือ สามารถหาได้จากนิยามข้างต้นทั้งหมด
ทุกกรณี ทุกฟังก์ชัน และจากวงกลมหนึ่งหน่วยอีกเช่นกัน

5. สรุปเกี่ยวกับ DOMAIN & RANGE ของฟังก์ชันตรีโกณต่าง ๆ ดังนี้

FUNCTION
DOMAIN
RANGE
sine & cosine

tangent

cotangent

secant

cosecant

เมื่อ

เมื่อ

เมื่อ

เมื่อ







หรือ


หรือ


6. สรุปสูตรที่เป็นเอกลักษณ์เพื่อใช้ในการทำโจทย์
6.1 เปลี่ยนมุมลบ เป็นมุมบวก
1. [sine ลบเท่ากับลบ sine]
2.cos [cos ลบเท่ากับ cos]
3.tan
4.cosec
5.sec
6.cot
ข้อสังเกต 2 ข้อแรกต้องจำได้แม่นยำแล้วจะเป็นตัวช่วยในการที่จะจำข้อ 3 – 6 โดยใช้นิยามของแต่ละฟังก์ชัน เช่น ก็นำข้อ 1. หารด้วยข้อ 2. ทั้ง 2 ข้าง ก็จะได้ = นั่นเอง ฟังก์ชันอื่นก็ทำได้เช่นกัน ลองพิจารณาดู
6.2 สูตรปีทาโกรัส
1.
2.
3.
ข้อสังเกต ข้อ 1. ต้องจำให้แม่น แล้วข้อ 2. และ 3. ก็จะได้ขึ้นมาเองโดยนำเอกลักษณ์ใน ข้อ 1. หารด้วย ตลอดก็จะได้ข้อ 2. ถ้าข้อ 1. หารด้วย ตลอดก็จะได้ข้อ 3.

7. คุณสมบัติของคู่โคฟังก์ชันตรีโกณมิติ
กำหนด จะได้ว่า เมื่อ และ เป็นมุมที่ ดังนั้นคู่โคฟังก์ชันตรีโกณ ก็คือ sin คู่กับ cos, tan คู่กับ cot และ sec คู่กับ cosec เช่น ซึ่ง เป็นต้น
หมายเหตุ คู่โคฟังก์ชันไม่ใช่ส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณ (ส่วนกลับของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น sec เป็นส่วนกลับของ cos)

8. สูตรลดทอน (ข้อสอบ ENTRANCE เน้นมาก)
เป็นการลดทอนมุมให้มาตกอยู่ในช่วง เช่นพวก
สูตรนี้ไม่ต้องท่องจำทั้งหมด แต่ใช้หลักการต่อไปนี้
1.ที่ ไม่ตกใน เป็นฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาอยู่ ถ้า เป็นมุมลบ ให้เปลี่ยนเป็นมุมบวกก่อน โดยใช้เอกลักษณ์ ข้อ 6.1 เข้าช่วย
2.จัดรูปแบบของมุมบวกที่ได้จากข้อ 1. ให้อยู่ในรูป โดย C เป็นมุมที่ตกบนแกน x หรือแกน y และ
3.: ถ้าหาก C ตกอยู่บนแกน x จะได้ว่า
: ถ้าหาก C ตกอยู่บนแกน y จะได้ว่า
4.ต้องพิจารณาเครื่องหมายของฟังก์ชันที่ได้ควรเป็นบวกหรือเป็นลบ โดยพิจารณาจาก ที่เปลี่ยนเป็นมุมบวกเรียบร้อยแล้ว

9. สรุปเรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
กราฟ และ มีจุดสูงสุด = 1 จุดต่ำสุด = -1
แอมพลิจูด (A) = และคาบ

กราฟ และ
จะไม่มีจุดสูงสุด ต่ำสุด หรือบอกว่าจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดหาค่าไม่ได้ ทำให้แอมพลิจูดหาค่าไม่ได้ ; คาบ

กราฟ และ
จะไม่มีจุดสูงสุด จุดต่ำสุด แอมพลิจูดก็หาไม่ได้ คาบ

10. กราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติประยุกต์
10.1 กราฟประเภทคาบและค่าแอมพลิจูดเปลี่ยน
ถ้าให้ f เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tan, cot, sec, cosec) และ y = Af[nx] เช่น y = 4sin(2x) หมายความว่า f เป็นฟังก์ชันของ sin, A = 4, n = 2 การพิจารณากราฟของ y = Af[nx] เราจะได้ว่า
1.กราฟที่ได้ยังคงมีรูปร่างคล้ายกับฟังก์ชัน y = f(x) อยู่
2.ถ้ากราฟ y = f(x) มีคาบคือ T กราฟ y = Af[nx] จะมีคาบเป็น
3.สำหรับ f ที่เป็นฟังก์ชัน sin หรือ cos ค่าแอมพลิจูดของกราฟ y = Af[nx] คือ A ส่วนสำหรับฟังก์ชัน tan, cot, sec และ cosec ก็ยังคงหาค่าแอมพลิจูดไม่ได้เหมือนเดิม แต่ทว่าสำหรับ sec และ cosec ช่วงที่ไม่มีกราฟจะเปลี่ยนจาก มาเป็น

เช่น จงเขียนกราฟ f(x) = 5 sin
เมื่อเทียบกับกราฟ
จะได้ว่า f เป็นฟังก์ชัน sine มีแอมพลิจูด = A = 5
คาบ
10.2 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ยกกำลัง
เช่น การเขียนกราฟต้องใช้จินตนาการเข้าช่วย โดยต้องรู้หลักความจริงต่อไปนี้
1.เลขที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ซึ่งเป็นเลขทศนิยมบวก เมื่อยกกำลังจะมีค่าลดลง และเมื่อยิ่งยกกำลังมากขึ้นก็จะยิ่งมีค่าลดลงมากขึ้น
2.เลข 1 ยกกำลังเท่าไรก็ยังได้เท่าเดิม
3.เลขมากกว่า 1 ยกกำลัง จะมีค่ามากขึ้น และยิ่งมากขึ้นอีกเมื่อยกกำลังมากขึ้น
4.เลขอะไรก็ตาม เมื่อยกกำลังเลขคู่ จะได้จำนวนบวกเสมอ ดังนั้น กราฟของฟังก์ชันตรีโกณ ซึ่งยกกำลังด้วยเลขคู่จะต้องอยู่เหนือแกน x เสมอ และอยู่เหนือแกน x ทั้งหมด ส่วนยกกำลังเลขคี่ ก็มีได้ทั้งบวกและลบ

หลักการเขียนกราฟตรีโกณมิติที่ยกกำลัง
1.ต้องทราบกราฟตรีโกณมิติมาตรฐานของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณา
2.แยกพิจารณากราฟของฟังก์ชันออกเป็นส่วน ๆ ดังนี้
2.1ส่วนที่ไม่เปลี่ยนค่าเมื่อยกกำลัง (คือส่วนที่มีค่าเท่ากับ 0 และ 1)
2.2ส่วนที่เปลี่ยนค่าเมื่อยกกำลัง (ส่วนที่เหลือ)
10.3 กราฟตรีโกณมิติในเครื่องหมายรากและค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
เนื่องจากอยู่ในรูปค่าสัมบูรณ์ กราฟของมันจะต้องอยู่เหนือแกน x เสมอ และอยู่เหนือแกน x ทั้งหมด
กราฟเครื่องหมายราก
จะได้กราฟที่ไม่ต่อเนื่อง ทั้งนี้เพราะโดเมนของฟังก์ชันนี้จะใช้ได้เฉพาะในช่วงที่ให้ค่าฟังก์ชันเป็นบวกเท่านั้น




สูตรตรีโกณมิติ

มุมประกอบ (Compound Angle)

1. sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B
sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B

2. cos(A+B) = cos A cos B – sin A sin B
cos(A-B) = cos A cos B + sin A sin B

3. tan(A+B) =
tan(A-B) =

4. cot(A+B) =
cot(A-B) =

มุม 2 เท่า (DOUBLE ANGLE)
5. sin2A = 2sinAcosA
=

6. cos2A =
=
=
=

7. tan2A =

8. cot2A =



มุม 3 เท่า (TRIPLE ANGLE)
9. sin3A =


10. cos3A =

11. tan3A =

12. cot3A =

ผลบวก, ผลต่าง, และผลคูณ (SUM, DIFFERENCE, AND PRODUCT)
13. sinA+sinB = 2sin

14. sinA-sinB = 2cos

15. cosA+cosB = 2cos

16. cosA-cosB =

17. 2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B)

18. 2cosAsinB = sin(A+B)-sin(A-B)

19. 2 cosAcosB = cos(A+B)+cos(A-B)

20. 2sinAsinB = cos(A-B)-cos(A+B)

ฟังเพลง โหลดเพลง mp3 ที่นี่